Własności funkcji ciągłych

Twierdzenie 1: o działaniach arytmetycznych na funkcjach ciągłych

Jeżeli funkcje $ f\textrm{ i }g $ określone w zbiorze $ A \subset \mathbb{R} $ są ciągłe w punkcie $ x_0 \in A $ , to funkcje $ f+g, f-g, f \cdot g,{f \over g} $ (gdy $ g(x_0) =\mathrel{\llap{/\,}} 0 $), są ciągłe w punkcie $ x_0 $.

Twierdzenie 2: o ciągłości funkcji złożonej

Jeżeli funkcja $ f $ jest ciągła w punkcie $ x_0 $ i funkcja $ g $ jest ciągła w punkcie $ y_0=f(x_0) $ oraz złożenie $ g \circ f $ ma sens, wówczas funkcja złożona $ g \circ f $ jest ciągła w punkcie $ x_0 $.

Twierdzenie 3: o ciągłości funkcji odwrotnej

Jeżeli funkcja $ f $ jest ciągła i ściśle monotoniczna w przedziale $ J $, to funkcja odwrotna $ f^{-1} $ jest ciągła w przedziale $ f(J) $, w szczególności:

jeśli funkcja $ f $ jest ciągła i rosnąca w przedziale $ [a, b] $, to funkcja odwrotna $ f^{-1} $ jest ciągła i rosnąca w przedziale $ [f(a),f(b)] $,

jeśli funkcja $ f $ jest ciągła i malejąca w przedziale $ [a, b] $, to funkcja odwrotna $ f^{-1} $ jest ciągła i malejąca w przedziale $ [f(b),f(a)] $.

Przykład 1:

Funkcja $ f(x)= \sin x_{[-{ \pi \over 2}, { \pi \over 2}]} $ jest ciągła i rosnąca w przedziale $ [ {-{ \pi \over 2}, { \pi \over 2}}] $. Funkcja do niej odwrotna $ f^{-1}(x)= \arcsin x $ jest ciągła i rosnąca w przedziale $ [f(-{ \pi \over 2}), f({ \pi \over 2})]=[-1,1] $.

Rysunek 1: Ilustracja faktu, że funkcja odwrotna do funkcji ciągłej i rosnącej w przedziale jest również funkcją ciągłą i rosnącą.

Przykład 2:

Funkcja $ f(x)= \cos x_{[0, \pi]} $ jest ciągła i malejąca w przedziale $ [0, \pi] $. Funkcja do niej odwrotna $ f^{-1}(x)= \arccos x $ jest ciągła i malejąca w przedziale $ [f( \pi),f(0)]=[-1,1] $.

Rysunek 2: Ilustracja faktu, że funkcja odwrotna do funkcji ciągłej i malejącej w przedziale jest również funkcją ciągłą i malejącą.

Uwaga 1:

W twierdzeniu o ciągłości funkcji odwrotnej istotne jest założenie o przedziale. Funkcja odwrotna do funkcji ciągłej w dowolnym zbiorze nie musi być ciągła. Na przykład funkcja dana wzorem

$ f(x) = \begin{cases}x & \textrm{dla}~~ x \in \lbrack 0,1) \\ x-1 & \textrm{dla}~~ x \in \lbrack 2,3 \rbrack \end{cases} $

jest ciągła w zbiorze $ A=\lbrack 0,1) \cup \lbrack 2,3 \rbrack $, gdyż jest ona ciągła w każdym punkcie tego zbioru, natomiast funkcja do niej odwrotna
$ f(x) = \begin{cases} x & \text{dla}~~ x \in \lbrack 0,1) \\ x+1 & \text{dla}~~ x \in \lbrack 1,2 \rbrack \end{cases} $

nie jest ciągła, gdyż nie jest ona ciągła w punkcie $ x_0=1 $ (nie istnieje granica funkcji w tym punkcie, bo $ \lim \limits_{x \to -1^-} f^{-1}(x)=1 =\mathrel{\llap{/\,}} \lim \limits_{x \to 1^+} f^{-1}(x)=2 $ ).

$: Funkcja {OPENAGHMATHJAX()}f{OPENAGHMATHJAX} ciągła w zbiorze {OPENAGHMATHJAX()}A= \lbrack 0,1)\cup \lbrack 2,3 \rbrack{OPENAGHMATHJAX}, do której odwrotna {OPENAGHMATHJAX()}f^{-1}{OPENAGHMATHJAX} nie jest ciągła.$

Rysunek 3: Funkcja $ f $ ciągła w zbiorze $ A= \lbrack 0,1)\cup \lbrack 2,3 \rbrack $, do której odwrotna $ f^{-1} $ nie jest ciągła.

Twierdzenie 4: o monotoniczności funkcji ciągłej i różnowartościowej

Niech funkcja $ f $ będzie ciągła w przedziale $ [a, b] $. Wówczas $ f $ jest różnowartościowa wtedy i tylko wtedy, gdy jest ściśle monotoniczna w tym przedziale.

Twierdzenie 5: Weierstrassa (o osiąganiu kresów przez funkcje ciągłą w przedziale domkniętym)

Jeżeli funkcja $ f $ jest ciągła w przedziale domkniętym $ [a, b] $, to jest w tym przedziale ograniczona i osiąga swoje kresy tzn. istnieją takie punkty $ c_1, c_2 $ w przedziale $ [a, b] $, że

$ f(c_1)= \inf \limits_{x \in [a,b]}f(x), f(c_2)= \sup \limits_{x \in [a,b]}f(x) $.

Rysunek 4: Ilustracja twierdzenia Weierstrassa.

Uwaga 2:

W twierdzeniu Weierstrassa ważne jest, by funkcja była ciągła w przedziale domkniętym. Nie wystarcza ciągłość w przedziale otwartym, bo np. funkcja $ f(x)={1 \over x} $ ciągła w przedziale $ (-1,0) $ nie osiąga ani kresu dolnego ani górnego i nie jest ograniczona (bo nie jest ograniczona z dołu).

Rysunek 5: Funkcja ciągła w przedziale otwartym nieosiągająca kresów i nieograniczona.

Twierdzenie 6: Własność Darboux (przyjmowanie wartości pośrednich przez funkcję ciągłą w przedziale)

Jeżeli funkcja $ f $ jest ciągła w przedziale $ [a, b] $ oraz $ f(a) =\mathrel{\llap{/\,}} f(b) $ i $ c $ leży pomiędzy $ f(a)\textrm{ i }f(b) $, to istnieje taki punkt pośredni $ \xi \in (a,b) $ , że $ f( \xi)=c $.

Uwaga 3:

Własność Darboux orzeka, że funkcja ciągła w przedziale $ [a, b] $ przyjmuje wszystkie wartości pośrednie między $ f(a)\textrm{ i }f(b) $, więc jej wykres nie może się przerywać w tym przedziale.

Rysunek 6: Ilustracja własności Darboux.

Uwaga 4: O istnieniu punktów pośrednich

Z własności Darboux wynika, że przy stosownych założeniach o funkcji dla danego $ c $ (z twierdzenia 6) istnieje przynajmniej jeden punkt $ \xi $. Może być ich więcej, gdy funkcja nie jest różnowartościowa tak jak na drugim rysunku w poprzednim przykładzie.

Twierdzenie 7: Wniosek z własności Darboux o znajdowaniu przybliżonych miejsc zerowych funkcji

Jeżeli funkcja $ f $ jest ciągła w przedziale $ [a, b]\textrm{ oraz }f(a) \cdot f(b)<0 $, to istnieje punkt $ \xi \in (a,b) $ taki, że $ f(\xi)=0 $.

Uwaga 5:

Założenie $ f(a) \cdot f(b)<0 $ oznacza, że wartości funkcji na końcach przedziału maja różne znaki, leżą po różnych stronach osi $ 0\vec{x} $, a jako że wykres (zgodnie z twierdzeniem Darboux) nie może się „przerywać”, więc musi przeciąć, przynajmniej raz oś $ 0\vec{x} $.

Rysunek 7: Ilustracja wniosku z własności Darboux o miejscach zerowych funkcji.

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Matematyka